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问题描述
如果一个自然数N的K进制表示中任意的相邻的两位都不是相邻的数字,那么我们就说这个数是K好数。求L位K进制数中K好数的数目。例如K = 4,L = 2的时候,所有K好数为11、13、20、22、30、31、33 共7个。由于这个数目很大,请你输出它对1000000007取模后的值。
输入格式
输入包含两个正整数,K和L。
输出格式
输出一个整数,表示答案对1000000007取模后的值。
样例输入
4 2
样例输出
7
数据规模与约定
对于30%的数据,K^L<= 10^6;
对于50%的数据,K <= 16, L <= 10;
对于100%的数据,1 <= K,L <= 100。

问题分析:
使用动态规划。
dp[i][j],其中 i 表示数字的位数,因为位数最大为 l,所以i <= l,j 表示以 j 为首数字且为 k 好数的数字的个数,因进制最大为 k,所以 j <= k
进制为 k,即每个数中所能出现的最大数字为 k。
首先对于 1 位数,即当 l==1 时,进制 k 无论为多少,每个以 k 为首的数字都只有一个(0、1、2、3...k - 1),而 k 好数不为 0(没有 0 进制,1 进制仅有数字 1),所以总数为 k - 1 个。
然后由 1 位数计算出 2 位数中 k 好数的个数
由 2 位数计算 3 位数...直到计算至第 l 位数。

C语言代码:

#define MOD 1000000007
#include <stdio.h>
int main() {
    int k, l, i, j, x;
    long long dp[500][105], sum = 0;

    scanf("%d%d", &k, &l);

    for (i = 0; i < k; i++) // 1 位数时都为 1
        dp[1][i] = 1;

    for (i = 2; i <= l; i++)                    // 位数
        for (j = 0; j < k; j++)                 // 进制
            for (x = 0; x < k; x++)             // 从 0 到 k 枚举可构成 k 好数的数
                if (x != j - 1 && x != j + 1) { // 左右两数均为不相邻的数
                    dp[i][j] += dp[i - 1][x]; // 个数即为上一行(位数 - 1)中 x 进制下可构成 k 好数的数的个数
                    dp[i][j] %= MOD; // 求模防止溢出
                }

    for (i = 1; i < k; i++) { // 最后求出 l 位个数的总和
        sum += dp[l][i];
        sum %= MOD;
    }

    printf("%lld", sum);
    return 0;
}
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